讀數學系在明明德之五 – 妙處難與君說

我在序中提出了兩個問題，一個是問在數學以外我們學了什麼，另一個是問「他」讀得比你好的原因何在。我對這兩個問題的見解，雖然沒有太明確地寫出來，不過都可以在之首三篇中找得到。至於第四篇，其實是這個系列中要回答的第三個問題，思索這個問題大概可以讓我們更了解自己及自己正在做的事情吧。

本來在這篇之外，我還打算寫另一篇文章的，不過後來想想，也甚是多事。

那篇文章想寫的可以用一句話去概括：讀好數學的方法，也許是在數學以外的地方尋找；欠缺的，或許是心靈上的欠缺。正如這句話所說的一樣：

「你要保守你心，勝過保守一切，因為一生的果效，是由心發出。 (箴言4:23)」

 

Year 1 的時候讀數學書，有一個很大的疑問。我覺得數學書都寫得不明不白，有些東西讓我覺得很不協調，有些東西不知道為何寫了在那裏。我的疑問是，為何不能把所有事情都寫得清清楚楚，讓我看得舒舒服服？

現在看來，一來可能是看的人經驗不足所以不明白；二來，更重要的是，從你把所有事情弄清楚的過程，你會學得更多。

換了是以前的我，如果有人問我該怎樣讀書，或者我仔細的說我覺得應該怎樣讀。現在我覺得，一來，這樣讓人感到很不舒服；二來，我的答案是為我自己度身訂造的，不一定適用於其它人；三來，如上面所說，這個尋找的過程會讓人學得更多。

而我應該做的，大概就是在這裏打打文，說說自己的看法，讓大家想想，我說的這些東西是否合理，是否適用。其餘大部份的事情，還是得靠自己去 figure out。

我想教育也應該是這樣，比傳授知識更重要的，是刺激學生思考。這亦是我寫這個系列的其中一個原因。

Wish you all the best!

(此系列至此完結)

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讀數學系在明明德之四 – 燈火欄柵處

事必有因。你說你愛數學，為什麼？

Love can sometimes be magic. But magic can sometimes… just be an illusion.  - Ali Javan

There is always some madness in love. But there is also always some reason in madness. – Friedrich Nietzsche

凡愛皆有原因。這個原因應該要從你開始對你被愛的對象感興趣的時候開始尋找。一切是怎樣開始的？

正如 情與中國文化 此文指出，愛可以分兩種，一種是 Wonder，另一種是 Concern。我想或多或少每種愛在這兩方面都有一些。一般來說，是先以 Wonder 為主 然後以 Concern 為主。

Wonder 的愛就是一種 被吸引的愛。這是一種本能反應，有如觸動了你人性中的一個按鈕似的，你會想了解更多。這個按鈕被觸動的一刻，就是一切的開始。

可是只有 Wonder 並不能持久，Wonder 的下一步也並非就是 Concern。從 Wonder 到 Concern 之間，有一段很長的路要走。沒有了這段路，從 Wonder 立刻到 Concern，這很不合理。

看見一個鄉下老頭兒，覺得他的軀幹，他的面部的器官，他的蓬鬆的頭髮跟鬍子，線條都非常之美，配合起來是一個美的和諧，咱們要把那美的和諧表現出來，就動手畫那個老頭兒的像。 – 以畫為喻，葉紹鈞

The best and most beautiful things in the world cannot be seen or even touched – they must be felt with the heart. - Helen Keller

I see your true colours, that’s why I love you. – True Colours, Eva Cassidy

Perhaps love is like a resting place, a shelter from the storm. It exists to give you comfort, it is there to keep you warm. And in those times of trouble, when you are most alone, the memory of love will bring you home. – Perhaps love, John Denver.

Wonder 的愛得以延續，當中需要美（可能在一開始 Wonder 的時候就存在也不定）。人會去欣賞美麗的人、事、物，會不自覺地思考，主動地了解它們更多，這些都是來自我們與生俱來的原動力，這種動力是自發的，不刻意的。 很多事情，只要站對了角度，就能看見它的美。所以你跟你愛的對象之間，必須實在的有一些深刻的關聯；單是看見它的美，這個條件實在很弱。正如梁文道談愛情：

我不喜歡「條件說」。尤其是愛情的「條件說」，這等同於你腦子裡先想好一些條條框框，然後在世間尋找。當你覺得你所列出的條件全部滿足，或者滿足了八成，愛情就會自動發生。在我看，這很荒謬。

所以你跟愛的對象之間必須有一些實在的經歷，否則它不可能存在於現實之中。例如你可能參加過一些數學比賽，解決那些比賽問題的時候你感到很快樂；又例如你專心地做過一些數學題目，這些時候你內心感到很平靜；又例如你看慬了一些証明，你覺得它們很妙不可言；又例如你看見了兩個不同課題之間的一些關係，你覺得很有趣。

這段長路還包括了時間。你需要一段時間去深入了解你的對象以及你自己，去整理你的思緒，確保不是一時的感覺。你亦需要時間和耐性來培養愛。

正因為這個時間不短，愛，在一開始的時候是處於一個不確定的狀態。所以我們要活在當下，專心做好手上的事情，不必急於委身，亦不必急於否定。未找到，總好過找錯了。

Look, in my opinion, the best thing you can do is find a person who loves you for exactly what you are. – Mac MacGuff, Juno(2007)

愛也許沒有對錯之分，但絕對有真假之分。欠缺充分的了解的，那大概不是愛。如果連自己也欺騙自己，那是件很可悲的事情。正如一首英文歌所說，the greatest love of all is the love to love yourself。要愛，首先要愛自己。

我也不知道自己面對這些問題的時候可以有多清醒，但至少這些都是我認為對的事情。

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讀數學系在明明德之三 – 事必有因

我們除了要學習事實和技巧，學習怎樣運用它們去解決問題之外，還要學習問，為什麼。為什麼？

The important thing is not to stop questioning. Curiosity has its own reason for existing. – Albert Einstein

Faith… must be enforced by reason… when faith becomes blind it dies. – Mohandas Gandhi

Thinking is the hardest work there is, which is probably the reason why so few engage in it. – Henry Ford

很簡單，因為有些問題你不問，你不會知道答案，沒有經歷過自己思考的過程，你不會記得深刻。透過問問題的過程，你會學得更多。

讀一條命題，不是只要能夠記住了命題本身和它的証明，把証明寫出來就是了。我們應該要要求自己，當我們不記得怎樣証明的時候，自己也能從命題中的線索，把証明摸出來。要做到這點，我們要問為什麼有這些前提，哪裏用了哪個前提，為什麼缺一不可；問怎樣把証明想出來。

然後我們可以繼續問下去，為何有這一條命題，為何要定義這個概念，這條命題本身有什麼價值，這些命題是用來解決什麼問題，這些問題是怎樣出現的。讀完一本書，問問自己學了什麼，問問作者以什麼角度出發去解決問題，問問這本書跟自己之前看過的討論了同樣的事情的書有什麼不同。

還有很多問題可以問，但我們得了解哪些問題比較重要。這些問題只是一些例子，你可能不覺得重要，這不重要。重要的是要學會發問，學會思考，要對自己學的東西有自己的看法。

之前跟陸慶燊教授讀 Project，實在獲益良多。雖然最後我對我所讀的書的內容不甚了解，不過我從他身上學了一種求學的態度：事必有因。

我曾經覺得這個世界有巧合這回事。在看 prime number theorem 的 proof 的時候，那時我就只像部機器般檢查這個 theorem 是否正確，一來那些 arguments 我真的看不慬，只覺得每一步也走得很神奇；二來對於習慣了對那些我不了解的事情 brutal-force 地解決的我，我真的相信這個 proof 可以是巧合得來的。然後當我 present 的時候，陸教授逐個神奇步驟思考它們的用意，我才明白到，我實在有太多該問的問題沒有問！

 

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讀數學系在明明德之二 – 似曾相識

是非問題是我們關心的事情，但並非讓我們感興趣的事情。例如你不會覺得 Riemann Hypothesis 是真的，這個事實本身是一件有趣的事情。事實本身並不有趣。比較有趣的事情，是當你發現你正在解決的問題有些似曾相識，然後你想起了另一個問題，並從中看出了一些關係來。

如果我們看出問題之間的關係，便可以利用這些關係去幫助我們解決問題。有時關在於問題之間具有相同的 pattern，當你看見了便慬得怎樣去運用以往學過的東西來解決問題。

數學裏有很多物件，都能描述不同問題之間共同的 pattern，以 Linear Algebra 為例：

Linear transformation between any two finite dimensional vector space，我們可以把它看成 manipulation on the coefficients of the two basis。而這種 manipulation 可以用 matrices 和它的運算法則來表示。這樣我們就把很多關於 linear transformation 的問題，搬到去 F^n 上討論。

當然 matrices 看起來就是為了討論這個問題而度身訂造似的。但無容置疑，問題之間的關聯性以及 pattern 亦是我們須關心的事情。

我們是否聰明，我們能改變的不多。但我們可以做的，是用心解決每一個問題，一方面留意特別的地方，把它記住；另一方面問自己，這問題是否似曾相識。

這裏有個解碼遊戲，看看你在玩這個遊戲的時候有沒有什麼體會。Enjoy it!

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A decryption game

There are three famous quotes. They are encryption by a bijective function which maps each character to a character. We know that the word “THE” is mapped to “XRN”. Now, decrypt the encrypted quotes:

1. XRN CJYXF JAN JEJWUJPUN XH JUU PLX XRN KJXXNAZF XRNB CHAD GNKNZG
2. HZ XRN KHWZX HC EWNQ HC XRN HPFNAENA
3. FLANUB XRN KJXXNAZF JAN JF EJUWG JF XRN CJYXF XRNDFNUENF

P.S. You probably need a pencil and a rubber.

P.S. I took 30 to 45 mins to finish it.

There is a perfect man in my mind, namely, God

最近在這裏的教會上英文課，討論道德問題。星期一的時候，本來我們討論的問題是「應否說謊」，結果推而廣之，變成了討論「什麼事應該做，什麼事不應該做」。

我說，每個人心目中都應該有一個 perfect man 的概念。我們應該做的事，就是接近他；我們不應該做的事，就是遠離他。

然後那個教會的導師聽了，說，這正是基督教的概念。這個 perfect man 是神，他是我們做事的指標，不過因為人有原罪，所以無論我們多努力，我們永遠不能到達神的境界。

令我想起那些神存不存在的 argument，有些用的就是這個定義。

讀數學系在明明德之一 – 是非之地

數學系是一個是非之地，環繞著我們的就是 是非問題：這個命題對不對？若對，何時對？不一定對，欠了什麼前提？不對，錯在哪裏？証之。

跟其它科目不同，我們握在手中的是接近絕對的真理，我們讀的是 everlasting words，我們學的是接近絕對真理的方法。

在新生一進中大第一年讀的科目之中，Elementary Analysis 與 Linear Algebra 尤其重要。此兩科的重要性，除了在於其廣泛應用，亦在於培養嚴謹的判辨方法及科學精神。

The truth is incontrovertible, malice may attack it, ignorance may deride it, but in the end; there it is. – Winston Churchill

Anyone who doesn’t take truth seriously in small matters cannot be trusted in large ones
either. – Albert Einstein

There is not a truth existing which I fear… or would wish unknown to the whole world. – Thomas Jefferson

所謂嚴謹的判辨方法，就是當問及對錯時，有根有據地一步一步地推論。你若要知道一條命題是否正確，只須要看它的証明；你要知道一個証明是否正確，只須看清楚前提，一步一步地仔細看其推論。只要每一步都是正確的，整個証明就是正確的。如果看不出兩步之間的關係，至少也不會把錯誤的証明看成是正確的，從而能夠正確地去了解問題所在，而不會被自己的愚昧蒙騙。

這裏所指的科學精神，是追求真理的一種態度。學會了嚴謹的判辨方法而不使用是一種可惜。如果事情的真假對於你來說很重要，你就會很自然地嚴謹地思考，不敢貿然下結論，不會輕易相信你所吸收的事情，因此會懷疑，會一想再想有沒有漏洞；自己做証明時亦不會輕易地讓自己犯錯而不察覺。

真理所以是真理，因為它經得起質疑；當它經得起你自己的質疑的時候，你就能從心底出發地奉它為真理；往後當你看見矛盾的時候，你就知道道理在哪一方了。

這些都不是什麼大道理，活用這些道理的生活例子，我想到了這個：

當我第一次知道要拍那個洗頭水廣告的時候，其實我是拒絕的！因為我覺得，你不能叫我拍、馬上拍，第一，我要試一下，我又不想說，你拍一個廣告拍完以後加了很多特技，那頭髮動啊，很黑！很亮！很柔！結果觀眾出來一定罵我，根本沒有這種頭髮！這證明上面那個是假的。我說先要給我試一下。後來我經過也知道他們是中藥的，而且沒有那種化學成分的。那洗了這個月，這個月下來之後呢，起碼我用了很舒服。現在每天還在用！我還給了我成家班用！來！來！來！大家試試看！那我跟導演講︰「拍的時候就拍！拍完之後，這個頭髮就是我的頭髮，就不要加，再加特技上去，加到沒有就是這樣子！我要給觀眾看到，我用完之後是這樣子，你們用完之後，也是這樣子！

不過呢，這些是是非非，不要用錯地方。女朋友問你，她漂不漂亮，你就不要理性地去給她分析；該怎樣答，不用教了吧 =D

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